见的几种变形．

（一）‘定’构造数列法

例1：设数列 的首项 ，

(Ⅰ)求 的通项公式；

(Ⅱ)设 ，证明 ，其中 为正整数.

2007年（全国卷Ⅱ）

解：(Ⅰ)由 得，

变形构造：

得 ，即数列 是首项是 ，公比为 的等比数列，故，

即：

(Ⅱ)（略解）

归纳小结：若数列 满足

则，令 来构造等比数列，从而求解数列 的通项公式 ，我们称这种解法为‘定’构造数列法。

说明：①.本文是研究构造法，第(Ⅱ)就不作解答．

②.本题为题型三．

例2：在数列 中， ，求数列 的通项公式．

解：由已知 ，在递推公式两边取对数，

有， ，变形构造得：

，又　

即，数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，

故：

解之：

归纳小结：１．式子 两边次数不同，又都是正数，两边取对数，恰好能解决次数不同，从而使之都变成“一次型”。

２．通过取对数使式子变成“一次型”后，再利用定构造数列法，求解问题。

（二）‘动’构造数列法∵

变形一：

例3：在数列 中， ， ，

求数列 的通项公式．

解：由 ，变形构造，得

，又

得数列 是首项为 ，且公比为 的等比数列．

∴ ，即

归纳小结：①.对应关系式 与 的变形构造是关键．

②.本题是题型三．

变形二：

例4：数列 满足 ，求数列 的通项公式．

解：由 ，变形构造，得：

，　又 ，

∴ 是一个首项为 ，公差为３的等差数列。

得：

即：

变形三：

例５：在数列 中， 且满足 ，求数列 的通项公式．

解：由 变形构造得：

，又

∴数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，则

，即

再利用构造法：得

归纳小结：①.对应关系式 与 的变形构造是关键．

②.本题是题型三．

变形四：

例6：在数列 ， ， ，求数列 的通项公式．

解：由 ，变形构造得： ，又

∴ 是以1为首项，２为公差的等差数列．

得， ，故：

归纳小结：①.对应关系式 与 的变形构造是关键．

②.本题是题型三．

2.已知条件是由 与 的关系式组成的数列问题，常见的构造法求解通项与前 项和的基本方法．

原理：已知数列 的前 项和为 ，则有

例7：已知各项均为正数的数列 的前 项和满足 ，且

， ，求数列 的通项公式．

解：由 ，解得 或 ，

由已知 ，因此，

又由 　　（１），　构造得：

　 　（２），

（2）与（1）两式左右两边分别相减得：

，化简得

，又 ，得

从而 是２为首项，３为公差的等差数列.

故：

例8：已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，

（１）求数列 的通项公式